Već su stari matematičari znali za segment jedinične duljine: poznavali su, na primjer, nesumjerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je ekvivalentno iracionalnosti broja.

Iracionalni su:

Primjeri dokaza iracionalnosti

Korijen od 2

Pretpostavimo suprotno: racionalan je, to jest, predstavljen je u obliku nesvodljivog razlomka, gdje su i cijeli brojevi. Kvadriramo pretpostavljenu jednakost:

Slijedi da je čak i . Neka bude tamo gdje je cjelina. Zatim

Prema tome, čak znači čak i . Utvrdili smo da su i čak, što je u suprotnosti s nesvodljivošću razlomka . To znači da je izvorna pretpostavka bila netočna i - iracionalan broj.

Binarni logaritam broja 3

Pretpostavimo suprotno: racionalno, to jest predstavljeno kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Od , i može se odabrati da bude pozitivan. Zatim

Ali par i nepar. Dobivamo kontradikciju.

e

Priča

Koncept iracionalnih brojeva implicitno su usvojili indijski matematičari u 7. stoljeću pr. Kr., kada je Manava (oko 750. pr. Kr. - oko 690. pr. Kr.) shvatio da se kvadratni korijeni nekih prirodnih brojeva, kao što su 2 i 61, ne mogu eksplicitno izraziti .

Prvi dokaz o postojanju iracionalnih brojeva obično se pripisuje Hipasu iz Metaponta (oko 500. pr. Kr.), pitagorejcu koji je ovaj dokaz pronašao proučavajući duljine stranica pentagrama. U vrijeme pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica duljine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja ulazi u bilo koji segment cijeli broj puta. Međutim, Hipas je tvrdio da ne postoji jedinstvena jedinica za duljinu, budući da pretpostavka o njezinom postojanju dovodi do kontradikcije. Pokazao je da ako hipotenuza jednakokračnog pravokutnog trokuta sadrži cijeli broj jediničnih odsječaka, tada taj broj mora biti i paran i neparan. Dokaz je izgledao ovako:

• Omjer duljine hipotenuze i duljine kraka jednakokračnog pravokutnog trokuta može se izraziti kao a:b, Gdje a I b izabran kao najmanji mogući.
• Prema Pitagorinoj teoremi: a² = 2 b².
• Jer a- čak, a mora biti paran (jer bi kvadrat neparnog broja bio neparan).
• Od a:b nesvodljiv b mora biti neparan.
• Jer ačak, označavamo a = 2g.
• Zatim a² = 4 g² = 2 b².
• b² = 2 g², dakle b- čak, dakle bčak.
• Međutim, dokazano je da b neparan. Proturječnost.

Grčki matematičari nazvali su ovaj omjer nesamjerljivih veličina alogos(neizrecivo), ali prema legendama nisu odali dužno poštovanje Hipasu. Postoji legenda da je Hipas otkrio dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u more "zbog stvaranja elementa svemira koji poriče doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere." Otkriće Hipasa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući temeljnu pretpostavku da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo.

Vidi također

Bilješke

A svoje korijene vuku iz latinske riječi "ratio", što znači "razlog". Na temelju doslovnog prijevoda:

• Racionalan broj je "razuman broj".
• Iracionalan broj je, prema tome, "nerazuman broj".

Opći pojam racionalnog broja

Racionalan broj je broj koji se može napisati kao:

1. Obični pozitivni razlomak.
2. Negativan obični razlomak.
3. Kao broj nula (0).

Drugim riječima, sljedeće definicije vrijede za racionalan broj:

• Svaki prirodni broj je inherentno racionalan, budući da se svaki prirodni broj može prikazati kao običan razlomak.
• Bilo koji cijeli broj, uključujući broj nula, budući da se svaki cijeli broj može napisati ili kao pozitivan obični razlomak, kao negativan obični razlomak ili kao broj nula.
• Svaki obični razlomak, bez obzira je li pozitivan ili negativan, također se izravno približava definiciji racionalnog broja.
• Definicija također može uključivati ​​mješoviti broj, konačni decimalni razlomak ili beskonačni periodični razlomak.

Primjeri racionalnih brojeva

Pogledajmo primjere racionalnih brojeva:

• Prirodni brojevi - "4", "202", "200".
• Cijeli brojevi - “-36”, “0”, “42”.
• Obični razlomci.

Iz navedenih primjera sasvim je očito da racionalni brojevi mogu biti i pozitivni i negativni. Naravno, broj 0 (nula), koji je također racionalan broj, ujedno ne pripada kategoriji pozitivnog ili negativnog broja.

Stoga bih želio podsjetiti na općeobrazovni program koristeći sljedeću definiciju: „Racionalni brojevi“ su oni brojevi koji se mogu napisati kao razlomak x/y, gdje je x (brojnik) cijeli broj, a y (nazivnik) je prirodni broj.

Opći pojam i definicija iracionalnog broja

Osim “racionalnih brojeva” poznajemo i takozvane “iracionalne brojeve”. Pokušajmo ukratko definirati te brojke.

Čak su i stari matematičari, želeći izračunati dijagonalu kvadrata duž njegovih stranica, saznali za postojanje iracionalnog broja.
Na temelju definicije racionalnih brojeva možete izgraditi logički lanac i dati definiciju iracionalnog broja.
Dakle, u biti, oni realni brojevi koji nisu racionalni jednostavno su iracionalni brojevi.
Decimalni razlomci, koji izražavaju iracionalne brojeve, nisu periodični i beskonačni.

Primjeri iracionalnog broja

Razmotrimo radi jasnoće mali primjer iracionalni brojevi. Kao što smo već shvatili, beskonačni decimalni neperiodični razlomci nazivaju se iracionalnim, na primjer:

• Broj “-5.020020002... (jasno je vidljivo da su dvojke odvojene nizom od jedne, dvije, tri itd. nula)
• Broj “7.040044000444... (ovdje je jasno da se broj četvorki i broj nula svaki put u lancu povećava za jedan).
• Svima je poznat broj Pi (3,1415...). Da, da - također je iracionalno.

Općenito, svi realni brojevi su i racionalni i iracionalni. govoreći jednostavnim riječima, iracionalan broj se ne može prikazati kao običan razlomak x/y.

Opći zaključak i kratka usporedba brojeva

Gledali smo svaki broj zasebno, ali razlika između racionalnog broja i iracionalnog broja ostaje:

1. Iracionalan broj se javlja kod vađenja kvadratnog korijena, kod dijeljenja kruga s njegovim promjerom itd.
2. Racionalan broj predstavlja obični razlomak.

Zaključimo naš članak s nekoliko definicija:

• Aritmetička operacija izvedena na racionalnom broju, osim dijeljenja s 0 (nula), u konačnici će također dovesti do racionalnog broja.
• Konačni rezultat, kada se izvodi aritmetička operacija na iracionalnom broju, može dovesti i do racionalne i do iracionalne vrijednosti.
• Ako oba broja sudjeluju u aritmetičkoj operaciji (osim dijeljenja ili množenja s nulom), tada će rezultat biti iracionalan broj.

Sam koncept iracionalnog broja strukturiran je na takav način da je definiran kroz negaciju svojstva "biti racionalan", stoga je dokaz kontradikcijom najprirodniji ovdje. Moguće je, međutim, ponuditi sljedeće obrazloženje.

Po čemu se racionalni brojevi bitno razlikuju od iracionalnih brojeva? Oba se mogu aproksimirati racionalnim brojevima s bilo kojom zadanom točnošću, ali za racionalne brojeve postoji aproksimacija s točnošću "nula" (samim ovim brojem), ali za iracionalne brojeve to više nije slučaj. Pokušajmo se "igrati" na ovo.

Prije svega, zapazimo ovu jednostavnu činjenicu. Neka su $%\alpha$%, $%\beta$% dva pozitivna broja koji aproksimiraju jedan drugom s točnošću od $%\varepsilon$%, to jest $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$% . Što se događa ako brojeve zamijenimo njihovim inverzima? Kako će se promijeniti točnost? Lako je vidjeti da $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ alpha\ beta),$$ što će biti striktno manje od $%\varepsilon$% za $%\alpha\beta>1$%. Ova izjava se može smatrati nezavisnom lemom.

Sada postavimo $%x=\sqrt(2)$%, i neka $%q\in(\mathbb Q)$% bude racionalna aproksimacija broja $%x$% s točnošću od $%\varepsilon$ %. Znamo da je $%x>1$%, a što se tiče aproksimacije $%q$% zahtijevamo nejednakost $%q\ge1$%. Svi brojevi manji od $%1$% imat će lošiju točnost aproksimacije od samog $%1$% te ih stoga nećemo razmatrati.

Svakom od brojeva $%x$%, $%q$% dodajemo $%1$%. Očito će točnost aproksimacije ostati ista. Sada imamo brojeve $%\alpha=x+1$% i $%\beta=q+1$%. Prelaskom na recipročne brojeve i primjenom "leme", doći ćemo do zaključka da se naša točnost aproksimacije poboljšala, postavši striktno manja od $%\varepsilon$%. Zadovoljili smo traženi uvjet $%\alpha\beta>1$% čak i s marginom: zapravo, znamo da $%\alpha>2$% i $%\beta\ge2$%, iz čega možemo zaključiti da se točnost poboljšava barem $%4$% puta, odnosno ne prelazi $%\varepsilon/4$%.

I evo glavne stvari: prema uvjetu $%x^2=2$%, odnosno $%x^2-1=1$%, što znači da je $%(x+1)(x- 1)=1$%, odnosno brojevi $%x+1$% i $%x-1$% su inverzni jedan drugom. To znači da će $%\alpha^(-1)=x-1$% biti aproksimacija (racionalnog) broja $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% s točnošću strogo manje $%\varepsilon$%. Preostaje ovim brojevima dodati $%1$% i ispada da broj $%x$%, odnosno $%\sqrt(2)$%, ima novu racionalnu aproksimaciju jednaku $%\beta ^(- 1)+1$%, odnosno $%(q+2)/(q+1)$%, s "poboljšanom" točnošću. Ovo dovršava dokaz, jer za racionalne brojeve, kao što smo gore napomenuli, postoji "apsolutno točna" racionalna aproksimacija s točnošću od $%\varepsilon=0$%, gdje se točnost u načelu ne može povećati. Ali to smo uspjeli, što govori o neracionalnosti naših brojki.

Zapravo, ovo razmišljanje pokazuje kako konstruirati specifične racionalne aproksimacije za $%\sqrt(2)$% sa sve boljom točnošću. Prvo moramo uzeti aproksimaciju $%q=1$%, a zatim primijeniti istu formulu zamjene: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. Ovaj proces proizvodi sljedeće: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ i tako dalje.

Koji su brojevi iracionalni? Iracionalan broj nije racionalan realan broj, tj. ne može se prikazati kao razlomak (kao omjer dva cijela broja), gdje m- cijeli broj, n- prirodni broj. Iracionalan broj može se prikazati kao beskonačni neperiodični decimalni razlomak.

Iracionalan broj možda nema točno značenje. Samo u formatu 3.333333…. Na primjer, kvadratni korijen iz dva je iracionalan broj.

Koji je broj iracionalan? Iracionalan broj(za razliku od racionalnog) naziva se beskonačni decimalni neperiodični razlomak.

Skup iracionalnih brojevačesto se označava velikim latiničnim slovom podebljanim stilom bez sjenčanja. Da.:

one. Skup iracionalnih brojeva je razlika između skupova realnih i racionalnih brojeva.

Svojstva iracionalnih brojeva.

• Zbroj 2 nenegativna iracionalna broja može biti racionalan broj.
• Iracionalni brojevi definiraju Dedekindove rezove u skupu racionalnih brojeva, u čijoj nižoj klasi nema najvećeg broja, a u višoj klasi nema manjeg.
• Svaki realni transcendentalni broj je iracionalan broj.
• Svi iracionalni brojevi su ili algebarski ili transcendentalni.
• Skup iracionalnih brojeva je posvuda na brojevnom pravcu gust: između svakog para brojeva nalazi se iracionalan broj.
• Red na skupu iracionalnih brojeva je izomorfan redu na skupu realnih transcendentalnih brojeva.
• Skup iracionalnih brojeva je beskonačan i skup je 2. kategorije.
• Rezultat svake aritmetičke operacije s racionalnim brojevima (osim dijeljenja s 0) je racionalan broj. Rezultat aritmetičkih operacija nad iracionalnim brojevima može biti racionalan ili iracionalan broj.
• Zbroj racionalnog i iracionalnog broja uvijek će biti iracionalan broj.
• Zbroj iracionalnih brojeva može biti racionalan broj. Na primjer, neka x iracionalno dakle y=x*(-1) također iracionalan; x+y=0, i broj 0 racionalan (ako npr. zbrojimo korijen bilo kojeg stupnja od 7 i minus korijen istog stupnja od sedam, dobit ćemo racionalni broj 0).

Iracionalni brojevi, primjeri.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

Razumijevanje brojeva, posebno prirodnih brojeva, jedna je od najstarijih matematičkih "vještina". Mnoge su civilizacije, pa i moderne, brojevima pripisivale određena mistična svojstva zbog njihove goleme važnosti u opisivanju prirode. Iako moderna znanost a matematika ne potvrđuje ova "čarobna" svojstva, važnost teorije brojeva je neporeciva.

Povijesno gledano, prvo su se pojavili različiti prirodni brojevi, a zatim su im se prilično brzo dodavali razlomci i pozitivni iracionalni brojevi. Nakon ovih podskupova skupa realnih brojeva uvedeni su nula i negativni brojevi. Posljednji skup, skup kompleksnih brojeva, pojavio se tek razvojem moderne znanosti.

U modernoj matematici brojevi se ne uvode povijesnim redoslijedom, iako mu je prilično blizu.

Prirodni brojevi $\mathbb(N)$

Skup prirodnih brojeva često se označava kao $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, i često je dopunjen nulom da označi $\mathbb(N)_0$.

$\mathbb(N)$ definira operacije zbrajanja (+) i množenja ($\cdot$) sa sljedećim svojstvima za bilo koje $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ skup $\mathbb(N)$ je zatvoren prema operacijama zbrajanja i množenja
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ komutativnost
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asocijativnost
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributivnost
5. $a\cdot 1=a$ je neutralni element za množenje

Budući da skup $\mathbb(N)$ sadrži neutralni element za množenje, ali ne i za zbrajanje, dodavanje nule ovom skupu osigurava da uključuje neutralni element za zbrajanje.

Uz ove dvije operacije, odnosi "manje od" ($

1. $a b$ trihotomija
2. ako $a\leq b$ i $b\leq a$, onda je $a=b$ antisimetrija
3. ako su $a\leq b$ i $b\leq c$, tada je $a\leq c$ tranzitivan
4. ako je $a\leq b$ onda $a+c\leq b+c$
5. ako je $a\leq b$ onda $a\cdot c\leq b\cdot c$

Cijeli brojevi $\mathbb(Z)$

Primjeri cijelih brojeva:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Rješavanje jednadžbe $a+x=b$, gdje su $a$ i $b$ poznati prirodni brojevi, a $x$ nepoznati prirodni broj, zahtijeva uvođenje nove operacije - oduzimanje(-). Ako postoji prirodan broj $x$ koji zadovoljava ovu jednadžbu, tada je $x=b-a$. Međutim, ova određena jednadžba ne mora nužno imati rješenje na skupu $\mathbb(N)$, pa praktična razmatranja zahtijevaju proširenje skupa prirodnih brojeva kako bi se uključila rješenja takve jednadžbe. To dovodi do uvođenja skupa cijelih brojeva: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Budući da je $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, logično je pretpostaviti da su prethodno uvedene operacije $+$ i $\cdot$ te relacije $ 1. $0+a=a+0=a$ postoji neutralni element za dodavanje
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ postoji suprotan broj $-a$ za $a$

Svojstvo 5.:
5. ako je $0\leq a$ i $0\leq b$, tada $0\leq a\cdot b$

Skup $\mathbb(Z)$ također je zatvoren prema operaciji oduzimanja, to jest $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Racionalni brojevi $\mathbb(Q)$

Primjeri racionalnih brojeva:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Sada razmotrite jednadžbe oblika $a\cdot x=b$, gdje su $a$ i $b$ poznati cijeli brojevi, a $x$ je nepoznanica. Da bi rješenje bilo moguće potrebno je uvesti operaciju dijeljenja ($:$), a rješenje ima oblik $x=b:a$, odnosno $x=\frac(b)(a)$ . Opet se javlja problem da $x$ ne pripada uvijek $\mathbb(Z)$, pa skup cijelih brojeva treba proširiti. Ovo uvodi skup racionalnih brojeva $\mathbb(Q)$ s elementima $\frac(p)(q)$, gdje su $p\in \mathbb(Z)$ i $q\in \mathbb(N)$. Skup $\mathbb(Z)$ je podskup u kojem je svaki element $q=1$, dakle $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ i operacije zbrajanja i množenja se protežu na ovaj skup prema sljedeća pravila koja čuvaju sva gore navedena svojstva na skupu $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Podjela se uvodi na sljedeći način:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

Na skupu $\mathbb(Q)$, jednadžba $a\cdot x=b$ ima jedinstveno rješenje za svaki $a\neq 0$ (dijeljenje s nulom je nedefinirano). To znači da postoji inverzni element $\frac(1)(a)$ ili $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\postoji \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

Poredak skupa $\mathbb(Q)$ može se proširiti na sljedeći način:
$\frac(p_1)(q_1)

Skup $\mathbb(Q)$ ima jedno važno svojstvo: između bilo koja dva racionalna broja postoji beskonačno mnogo drugih racionalnih brojeva, dakle, ne postoje dva susjedna racionalna broja, za razliku od skupova prirodnih brojeva i cijelih brojeva.

Iracionalni brojevi $\mathbb(I)$

Primjeri iracionalnih brojeva:
$\sqrt(2) \približno 1,41422135...$
$\pi\približno 3,1415926535...$

Budući da između bilo koja dva racionalna broja postoji beskonačno mnogo drugih racionalnih brojeva, lako je pogrešno zaključiti da je skup racionalnih brojeva toliko gust da ga nema potrebe dalje širiti. Čak je i Pitagora napravio takvu grešku u svoje vrijeme. Međutim, već su njegovi suvremenici opovrgli taj zaključak proučavajući rješenja jednadžbe $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) na skupu racionalnih brojeva. Za rješavanje takve jednadžbe potrebno je uvesti pojam kvadratnog korijena, a tada rješenje te jednadžbe ima oblik $x=\sqrt(2)$. Jednadžba poput $x^2=a$, gdje je $a$ poznati racionalni broj, a $x$ nepoznat, nema uvijek rješenje na skupu racionalnih brojeva, pa se opet javlja potreba za proširenjem postaviti. Nastaje skup iracionalnih brojeva, a brojevi poput $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... pripadaju tom skupu.

Realni brojevi $\mathbb(R)$

Unija skupova racionalnih i iracionalnih brojeva je skup realnih brojeva. Budući da je $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, opet je logično pretpostaviti da uvedene aritmetičke operacije i relacije zadržavaju svoja svojstva na novom skupu. Formalni dokaz za to je vrlo težak, pa se gore navedena svojstva aritmetičkih operacija i relacija na skupu realnih brojeva uvode kao aksiomi. U algebri se takav objekt naziva poljem, pa se za skup realnih brojeva kaže da je uređeno polje.

Da bi definicija skupa realnih brojeva bila potpuna, potrebno je uvesti dodatni aksiom koji razlikuje skupove $\mathbb(Q)$ i $\mathbb(R)$. Pretpostavimo da je $S$ neprazan podskup skupa realnih brojeva. Element $b\in \mathbb(R)$ naziva se gornja granica skupa $S$ ako $\forall x\in S$ drži $x\leq b$. Tada kažemo da je skup $S$ omeđen odozgo. Najmanja gornja granica skupa $S$ naziva se supremum i označava se kao $\sup S$. Koncepti donje granice, skupa ograničenog odozdo i infinum $\inf S$ uvode se na sličan način. Sada je aksiom koji nedostaje formuliran na sljedeći način:

Svaki neprazan i gornje ograničen podskup skupa realnih brojeva ima supremum.
Također se može dokazati da je polje realnih brojeva definirano na gornji način jedinstveno.

Kompleksni brojevi$\mathbb(C)$

Primjeri kompleksnih brojeva:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ gdje je $i = \sqrt(-1)$ ili $i^2 = -1$

Skup kompleksnih brojeva predstavlja sve uređene parove realnih brojeva, to jest $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, na kojima operacije zbrajanje i množenje se definiraju na sljedeći način:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Postoji nekoliko oblika zapisivanja kompleksnih brojeva, od kojih je najčešći $z=a+ib$, gdje je $(a,b)$ par realnih brojeva, a broj $i=(0,1)$ naziva se imaginarna jedinica.

Lako je pokazati da je $i^2=-1$. Proširenje skupa $\mathbb(R)$ na skup $\mathbb(C)$ omogućuje određivanje kvadratnog korijena negativnih brojeva, što je bio razlog uvođenja skupa kompleksnih brojeva. Također je lako pokazati da podskup skupa $\mathbb(C)$ dan s $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ zadovoljava sve aksiome za realne brojeve, dakle $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, ili $R\subset\mathbb(C)$.

Algebarska struktura skupa $\mathbb(C)$ s obzirom na operacije zbrajanja i množenja ima sljedeća svojstva:
1. komutativnost zbrajanja i množenja
2. asocijativnost zbrajanja i množenja
3. $0+i0$ - neutralni element za zbrajanje
4. $1+i0$ - neutralni element za množenje
5. Množenje je distributivno u odnosu na zbrajanje
6. Postoji jedan inverz za zbrajanje i množenje.