MJEŠOVITI PRODUKT TRI VEKTORA I NJEGOVA SVOJSTVA

Mješoviti rad tri vektora naziva se broj jednak . Određeni . Ovdje se prva dva vektora množe vektorski, a zatim se rezultirajući vektor skalarno množi trećim vektorom. Očito, takav proizvod je određeni broj.

Razmotrimo svojstva miješanog proizvoda.

1. Geometrijsko značenje mješoviti rad. Mješoviti umnožak 3 vektora, do znaka, jednak je volumenu paralelopipeda izgrađenog na tim vektorima, kao na bridovima, tj. .

   Dakle, i .

   

   Dokaz. Odvojimo vektore iz zajedničkog ishodišta i na njima izgradimo paralelopiped. Označimo i primijetimo da . Po definiciji skalarnog produkta

   Pretpostavljajući to i označavajući sa h nađi visinu paralelopipeda.

   Dakle, kada

   Ako, onda je tako. Stoga, .

   Kombinirajući oba ova slučaja, dobivamo ili .

   Iz dokaza ovog svojstva, posebice, slijedi da ako je trojka vektora desnokretna, tada je mješoviti produkt , a ako je lijevokretan, tada je .

2. Za sve vektore , , jednakost je istinita

   Dokaz ovog svojstva slijedi iz svojstva 1. Doista, lako je pokazati da i . Štoviše, znakovi "+" i "–" uzimaju se istovremeno, jer kutovi između vektora i i i su i šiljasti i tupi.

3. Prilikom preuređivanja bilo koja dva faktora mješoviti rad mijenja predznak.

   Doista, ako uzmemo u obzir mješoviti proizvod, tada, na primjer, ili

4. Mješoviti produkt ako i samo ako je jedan od faktora jednak nuli ili su vektori komplanarni.

   Dokaz.

   Dakle, nužan i dovoljan uvjet za koplanarnost 3 vektora je da je njihov mješoviti produkt jednak nuli. Osim toga, slijedi da tri vektora čine bazu u prostoru ako .

   Ako su vektori zadani u koordinatni oblik, tada se može pokazati da se njihov mješoviti produkt nalazi pomoću formule:

   .

   Dakle, mješoviti umnožak jednak je determinanti trećeg reda, koja ima koordinate prvog vektora u prvom retku, koordinate drugog vektora u drugom retku i koordinate trećeg vektora u trećem retku.

   Primjeri.

ANALITIČKA GEOMETRIJA U PROSTORU

Jednadžba F(x, y, z)= 0 definira u prostoru Oxyz neke površine, tj. geometrijsko mjesto točaka čije koordinate x, y, z zadovoljiti ovu jednadžbu. Ova se jednadžba naziva jednadžba površine, i x, y, z– trenutne koordinate.

Međutim, često površina nije određena jednadžbom, već kao skup točaka u prostoru koje imaju jedno ili drugo svojstvo. U ovom slučaju potrebno je pronaći jednadžbu površine na temelju njezinih geometrijskih svojstava.

AVION.

NORMALNI VEKTOR U RAVNINI.

JEDNADŽBA RAVNINE KOJA PROLAZI KROZ ZADANU TOČKU

Promotrimo proizvoljnu ravninu σ u prostoru. Njegov položaj se određuje zadavanjem vektora okomitog na tu ravninu i neke fiksne točke M0(x 0, y 0, z 0), koji leži u σ ravnini.

Vektor okomit na ravninu σ naziva se normalan vektor ove ravnine. Neka vektor ima koordinate .

Izvedimo jednadžbu ravnine σ koja prolazi ovom točkom M0 i ima normalni vektor. Da biste to učinili, uzmite proizvoljnu točku na ravnini σ M(x, y, z) i razmotriti vektor .

Za bilo koju točku M O σ je vektor. Stoga je njihov skalarni produkt jednak nuli. Ova jednakost je uvjet da točka M O σ. Ona vrijedi za sve točke ove ravnine i krši se čim točka M bit će izvan ravnine σ.

Označimo li točke radijus vektorom M, – radijus vektor točke M0, tada se jednadžba može napisati u obliku

Ova se jednadžba zove vektor jednadžba ravnine. Zapišimo to u koordinatnom obliku. Od tada

Dakle, dobili smo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz ovu točku. Dakle, da biste izradili jednadžbu ravnine, trebate znati koordinate vektora normale i koordinate neke točke koja leži na ravnini.

Uočimo da je jednadžba ravnine jednadžba 1. stupnja s obzirom na trenutne koordinate x, y I z.

Primjeri.

OPĆA JEDNADŽBA RAVNINE

Može se pokazati da svaka jednadžba prvog stupnja s obzirom na Kartezijeve koordinate x, y, z predstavlja jednadžbu određene ravnine. Ova jednadžba se piše kao:

Sjekira+Po+Cz+D=0

i zove se opća jednadžba ravnina i koordinate A, B, C ovdje su koordinate vektora normale ravnine.

Razmotrimo posebne slučajeve opće jednadžbe. Otkrijmo kako se ravnina nalazi u odnosu na koordinatni sustav ako jedan ili više koeficijenata jednadžbe postanu nula.

A je duljina segmenta odsječenog ravninom na osi Vol. Slično se može pokazati da b I c– duljine segmenata odsječenih ravninom koja se razmatra na osi Joj I Oz.

Za konstruiranje ravnina zgodno je koristiti jednadžbu ravnine u segmentima.

7.1. Definicija unakrsnog umnoška

Tri nekomplanarna vektora a, b i c, uzeta naznačenim redoslijedom, tvore desni trostruk ako se od kraja trećeg vektora c vidi najkraći zavoj od prvog vektora a do drugog vektora b biti u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a ljevoruki triplet ako je u smjeru kazaljke na satu (vidi sl. .16).

Umnožak vektora a i vektora b naziva se vektor c, koji:

1. Okomito na vektore a i b, tj. c ^ a i c ^ b ;

2. Ima duljinu numerički jednaku površini paralelograma konstruiranog na vektorima a ib kao na stranama (vidi sl. 17), t.j.

3. Vektori a, b i c tvore desnu trojku.

Vektorsko umjetničko djelo označeno s a x b ili [a,b]. Sljedeći odnosi između jediničnih vektora izravno slijede iz definicije vektorskog produkta, j I k

(vidi sliku 18):
i x j = k, j x k = i, k x i = j. Dokažimo, na primjer, da

i xj =k. ^ 1) k ^ i, k

j; 2) |k |=1, ali | i x j

| = |i | I|J | sin(90°)=1;

3) vektori i, j i

tvore desnu trojku (vidi sliku 16).

7.2. Svojstva križnog umnoška = -(1. Pri preslagivanju faktora vektorski produkt mijenja predznak, tj.).

i xb =(b xa) (vidi sliku 19).

Vektori a xb i b xa su kolinearni, imaju iste module (površina paralelograma ostaje nepromijenjena), ali su suprotno usmjereni (trojke a, b, a xb i a, b, b x a suprotne orijentacije). Stoga axb b xa b 2. Vektorski produkt ima svojstvo kombiniranja u odnosu na skalarni faktor, tj. l ​​(a xb) = (l a) x b = a x (l b). b Neka je l >0. Vektor l (a xb) je okomit na vektore a i b. Vektor ( axb l axb sjekira axb b xa b također je okomit na vektore a i

(vektori a, axb ali leže u istoj ravnini). To znači da vektori axb(a xb) i ( axb<0.

kolinearni. Očito je da im se smjerovi poklapaju. Imaju istu dužinu: b Eto zašto<=>(a xb)=

a xb. Na sličan način se dokazuje za

3. Dva vektora a i različita od nule

(su kolinearni ako i samo ako je njihov vektorski produkt jednak nultom vektoru, tj. a ||b i xb =0. b Konkretno, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Vektorski produkt ima svojstvo distribucije:

a+b)

xc = a xc + Sljedeći odnosi između jediničnih vektora izravno slijede iz definicije vektorskog produkta, xs.

Prihvatit ćemo bez dokaza.

Neka su dana dva vektora a =a x i +a y Sljedeći odnosi između jediničnih vektora izravno slijede iz definicije vektorskog produkta,+a z I i b =b x ja+b g Sljedeći odnosi između jediničnih vektora izravno slijede iz definicije vektorskog produkta,+b z I. Nađimo vektorski umnožak ovih vektora množenjem kao polinoma (prema svojstvima vektorskog umnoška):

Dobivena formula može se napisati još kraće:

budući da desna strana jednakosti (7.1) odgovara proširenju determinante trećeg reda u smislu elemenata prvog reda. Jednakost (7.2) je lako zapamtiti.

7.4. Neke primjene križnog umnoška

Utvrđivanje kolinearnosti vektora

Određivanje površine paralelograma i trokuta

Prema definiciji vektorskog produkta vektora A i b |a xb | =|a | * |b |sin g, tj. S parova = |a x b |. I, prema tome, D S =1/2|a x b |.

Određivanje momenta sile oko točke

Neka na točku A djeluje sila F = AB i neka OKO- neka točka u prostoru (vidi sliku 20).

Iz fizike je poznato da moment sile F u odnosu na točku OKO nazvan vektor M, koji prolazi točkom OKO I:

1) okomito na ravninu koja prolazi kroz točke O, A, B;

2) brojčano jednak umnošku sile po kraku

3) tvori desnu trojku s vektorima OA i A B.

Stoga je M = OA x F.

Određivanje linearne brzine rotacije

Ubrzati v točka M krutog tijela koje rotira kutnom brzinom w oko fiksne osi, određuje se Eulerovom formulom v =w xr, gdje je r =OM, gdje je O neka fiksna točka osi (vidi sliku 21).

Vektorsko umjetničko djelo je pseudovektor okomit na ravninu konstruiran od dva faktora, koji je rezultat binarne operacije "množenje vektora" nad vektorima u trodimenzionalnom euklidskom prostoru. Vektorski umnožak nema svojstva komutativnosti i asocijativnosti (on je antikomutativan) te je za razliku od skalarnog umnoška vektora vektor. Naširoko se koristi u mnogim inženjerskim i fizičkim aplikacijama. Na primjer, kutni moment i Lorentzova sila matematički se zapisuju kao vektorski produkt. Križni produkt koristan je za "mjerenje" okomitosti vektora - modul križnog produkta dvaju vektora jednak je produktu njihovih modula ako su okomiti, a smanjuje se na nulu ako su vektori paralelni ili antiparalelni.

Vektorski umnožak može se definirati na različite načine, a teoretski, u prostoru bilo koje dimenzije n, može se izračunati umnožak n-1 vektora, čime se dobiva jedan vektor okomit na sve njih. Ali ako je produkt ograničen na netrivijalne binarne produkte s vektorskim rezultatima, tada je tradicionalni vektorski produkt definiran samo u trodimenzionalnim i sedmodimenzionalnim prostorima. Rezultat vektorskog umnoška, ​​poput skalarnog umnoška, ​​ovisi o metrici euklidskog prostora.

Za razliku od formule za izračunavanje vektora skalarnog umnoška iz koordinata u trodimenzionalnom pravokutnom koordinatnom sustavu, formula za križni umnožak ovisi o orijentaciji pravokutnog koordinatnog sustava, odnosno, drugim riječima, njegovoj “kiralnosti”.

Definicija:
Vektorski produkt vektora a i vektora b u prostoru R3 je vektor c koji zadovoljava sljedeće zahtjeve:
duljina vektora c jednaka je umnošku duljina vektora a i b i sinusa kuta φ između njih:
|c|=|a||b|sin φ;
vektor c je okomit na svaki od vektora a i b;
vektor c je usmjeren tako da je trojka vektora abc desnokretna;
u slučaju prostora R7 traži se asocijativnost trojke vektora a, b, c.
Oznaka:
c===a × b

Riža. 1. Površina paralelograma jednaka je modulu vektorskog proizvoda

Geometrijska svojstva umnoška:
Nužan i dovoljan uvjet za kolinearnost dva vektora različita od nule je da je njihov vektorski produkt jednak nuli.

Modul višestrukih proizvoda jednaka površini S paralelogram konstruiran na vektorima svedenim na zajedničko ishodište a I b(vidi sliku 1).

Ako e- jedinični vektor okomit na vektore a I b i izabran tako da tri a,b,e- točno, i S je površina paralelograma konstruiranog na njima (svedena na zajedničko ishodište), tada vrijedi formula za vektorski proizvod:
= S e

sl.2. Volumen paralelopipeda pomoću vektora i skalarnog produkta vektora; isprekidane linije prikazuju projekcije vektora c na a × b i vektora a na b × c, prvi korak je pronaći skalarne produkte

Ako c- neki vektor, π - bilo koja ravnina koja sadrži ovaj vektor, e- jedinični vektor koji leži u ravnini π i ortogonalno na c,g- jedinični vektor okomit na ravninu π a usmjerena tako da trojka vektora ekg je u pravu, onda za bilo kakvo ležanje u avionu π vektor a formula je točna:
=Pr e a |c|g
gdje je Pr e a projekcija vektora e na a
|c|-modul vektora c

Kada koristite vektorske i skalarne produkte, možete izračunati volumen paralelopipeda izgrađenog na vektorima svedenim na zajedničko ishodište a, b I c. Takav produkt triju vektora naziva se mješoviti.
V=|a (b×c)|
Slika pokazuje da se ovaj volumen može pronaći na dva načina: geometrijski rezultat je sačuvan čak i kada se "skalarni" i "vektorski" produkti zamijene:
V=a×b c=a b×c

Veličina križnog umnoška ovisi o sinusu kuta između izvornih vektora, tako da se križni umnožak može percipirati kao stupanj "okomitosti" vektora, baš kao što se skalarni produkt može promatrati kao stupanj "paralelnosti ”. Vektorski umnožak dvaju jediničnih vektora jednak je 1 (jedinički vektor) ako su izvorni vektori okomiti, a jednak je 0 (nulti vektor) ako su vektori paralelni ili antiparalelni.

Izraz za križni umnožak u Kartezijevim koordinatama
Ako dva vektora a I b definirane svojim pravokutnim kartezijevim koordinatama, ili točnije, predstavljene u ortonormiranoj bazi
a=(a x,a y,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
a koordinatni sustav desnokretan, tada njihov vektorski produkt ima oblik
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Da zapamtite ovu formulu:
i =∑ε ijk a j b k
Gdje ε ijk- simbol Levi-Civita.

Engleski: Wikipedia čini stranicu sigurnijom. Koristite stari web preglednik koji se u budućnosti neće moći povezati s Wikipedijom. Ažurirajte svoj uređaj ili kontaktirajte svog IT administratora.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，这在将来无法连接维基百科。请以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

španjolski: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrator informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ???す るか情報は以下に英語で提供しています。

Njemački: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

talijanski: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stay usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

mađarski: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia je pogledala stranicu. Vaši drugi web-mjesta su uključeni u traženje Wikipedije u framtiden-u. Updatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer tehnicsk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Uklanjamo podršku za nesigurne verzije TLS protokola, posebno TLSv1.0 i TLSv1.1, na koje se softver vašeg preglednika oslanja za povezivanje s našim stranicama. To je obično uzrokovano zastarjelim preglednicima ili starijim Android pametnim telefonima. Ili to može biti smetnja korporativnog ili osobnog softvera "Web Security", koji zapravo smanjuje sigurnost veze.

Morate nadograditi svoj web preglednik ili na drugi način riješiti ovaj problem da biste pristupili našim stranicama. Ova će poruka ostati do 1. siječnja 2020. Nakon tog datuma vaš preglednik neće moći uspostaviti vezu s našim poslužiteljima.