Движение тела по наклонной плоскости - это классический пример движения тела под действием нескольких несонаправленных сил. Стандартный метод решения задач о такого рода движении состоит в разложении векторов всех сил по компонентам, направленным вдоль координатных осей. Такие компоненты являются линейно независимыми. Это позволяет записать второй закон Ньютона для компонент вдоль каждой оси отдельно. Таким образом второй закон Ньютона, представляющий собой векторное уравнение, превращается в систему из двух (трех для трехмерного случая) алгебраических уравнений.

Силы, действующие на брусок,
случай ускоренного движения вниз

Рассмотрим тело, которое соскальзывает вниз по наклонной плоскости. В этом случае на него действуют следующие силы:

• Сила тяжести mg , направленная вертикально вниз;
• Сила реакции опоры N , направленная перпендикулярно плоскости;
• Сила трения скольжения F тр, направлена противоположно скорости (вверх вдоль наклонной плоскости при соскальзывании тела)

При решении задач, в которых фигурирует наклонная плоскость часто удобно ввести наклонную систему координат, ось OX которой направлена вдоль плоскости вниз. Это удобно, потому что в этом случае придется раскладывать на компоненты только один вектор - вектор силы тяжести mg , а вектора силы трения F тр и силы реакции опоры N уже направлены вдоль осей. При таком разложении x-компонента силы тяжести равна mg sin(α ) и соответствует «тянущей силе», ответственной за ускоренное движение вниз, а y-компонента - mg cos(α ) = N уравновешивает силу реакции опоры, поскольку вдоль оси OY движение тела отсутствует.
Сила трения скольжения F тр = µN пропорциональна силе реакции опоры. Это позволяет получить следующее выражение для силы трения: F тр = µmg cos(α ). Эта сила противонаправлена «тянущей» компоненте силы тяжести. Поэтому для тела, соскальзывающего вниз , получаем выражения суммарной равнодействующей силы и ускорения:

F x = mg (sin(α ) – µ cos(α ));
a x = g (sin(α ) – µ cos(α )).

Не трудно видеть, что если µ < tg(α ), то выражение имеет положительный знак и мы имеем дело с равноускоренным движением вниз по наклонной плоскости. Если же µ > tg(α ), то ускорение будет иметь отрицательный знак и движение будет равнозамедленным. Такое движение возможно только в случае, если телу придана начальная скорость по направлению вниз по склону. В этом случае тело будет постепенно останавливаться. Если при условии µ > tg(α ) предмет изначально покоится, то он не будет начинать соскальзывать вниз. Здесь сила трения покоя будет полностью компенсировать «тянущую» компоненту силы тяжести.

Когда коэффициент трения в точности равен тангенсу угла наклона плоскости: µ = tg(α ), мы имеем дела с взаимной компенсацией всех трех сил. В этом случае, согласно первому закону Ньютона тело может либо покоиться, либо двигаться с постоянной скоростью (При этом равномерное движение возможно только вниз).

Силы, действующие на брусок,
скользящий по наклонной плоскости:
случай замедленного движения вверх

Однако, тело может и заезжать вверх по наклонной плоскости. Примером такого движения является движение хоккейной шайбы вверх по ледяной горке. Когда тело движется вверх, то и сила трения и «тянущая» компонента силы тяжести направлены вниз вдоль наклонной плоскости. В этом случае мы всегда имеем дело с равнозамедленным движением, поскольку суммарная сила направлена в противоположную скорости сторону. Выражение для ускорения для этой ситуации получается аналогичным образом и отличается только знаком. Итак для тела, скользящего вверх по наклонной плоскости , имеем.

Букина Марина, 9 В

Движение тела по наклонной плоскости

с переходом на горизонтальную

В качестве исследуемого тела я взяла монету достоинством 10 рублей (грани ребристые).

Технические характеристики:

Диаметр монеты – 27,0 мм;

Масса монеты - 8,7 г;

Толщина - 4 мм;

Монета изготовлена из сплава латунь-мельхиор.

За наклонную плоскость я решила принять книгу длиной 27 см. Она и будет являться наклонной плоскостью. Горизонтальная же плоскость неограниченная, т. к. цилиндрическое тело, а в дальнейшем монета, скатываясь с книги, будет продолжать свое движение на полу (паркетная доска). Книга поднята на высоту 12 см от пола; угол между вертикальной плоскостью и горизонтальной равен 22 градусам.

В качестве дополнительного оборудования для измерений были взяты: секундомер, линейка обыкновенная, длинная нить, транспортир, калькулятор.

На Рис.1. схематичное изображение монеты на наклонной плоскости.

Выполним пуск монеты.

Полученные результаты занесем в таблицу 1

вид плоскости
наклонная плоскость
горизонтальная плоскость
*0,27 м величина постоянная tобщ=90,04

Таблица 1

Траектория движения монеты во всех опытах была различна, но некоторые части траектории были похожи. По наклонной плоскости монета двигалась прямолинейно, а при движении на горизонтальной плоскости – криволинейно.

На Рисунке 2 изображены силы, действующие на монету во время её движения по наклонной плоскости:

С помощью II Закона Ньютона выведем формулу для нахождения ускорения монеты (по Рис.2.):

Для начала, запишем формулу II Закона Ньютона в векторном виде.

Где - ускорение, с которым движется тело, - равнодействующая сила (силы, действующие на тело), https://pandia.ru/text/78/519/images/image008_3.gif" width="164" height="53">, на наше тело во время движения действуют три силы: сила тяжести (Fтяж), сила трения (Fтр) и сила реакции опоры (N);

Избавимся от векторов, при помощи проецирования на оси X и Y:

Где - коэффициент трения

Т. к. у нас нет данных о числовом значении коэффициента трения монеты о нашу плоскость, воспользуемся другой формулой:

Где S – путь, пройденный телом, V0- начальная скорость тела, а – ускорение, с которым двигалось тело, t – промежуток времени движения тела.

т. к. ,

в ходе математических преобразований получаем следующую формулу:

При проецировании этих сил на ось Х (Рис.2.) видно, что направления векторов пути и ускорения совпадают, запишем полученную форму, избавившись от векторов:

За S и t примем средние значения из таблицы, найдем ускорение и скорость (по наклонной плоскости тело двигалось прямолинейно равноускоренно).

https://pandia.ru/text/78/519/images/image021_1.gif" align="left" width="144" height="21">

Аналогично найдём ускорение тела на горизонтальной плоскости (по горизонтальной плоскости тело двигалось прямолинейно равнозамедленно)

R=1, 35 см, где R – радиус монеты

где - угловая скорость, -центростремительное ускорение, - частота обращения тела по окружности

Движение тела по наклонной плоскости с переходом на горизонтальную – прямолинейное равноускоренное, сложное, которое можно разделить на вращательное и поступательное движения.

Движение тела на наклонной плоскости является прямолинейным равноускоренным.

По II Закону Ньютона видно, что ускорение зависит только от равнодействующей силы (R), а она на протяжении всего пути по наклонной плоскости остается величиной постоянной, т. к. в конечной формуле, после проецирования II Закона Ньютона, величины, задействованные в формуле являются постоянными https://pandia.ru/text/78/519/images/image029_1.gif" width="15" height="17">поворота из некоторого начального положения.

Поступательным называется такое движение абсолютно твердого тела, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Все точки тела, движущегося поступательно, в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения, а их траектории полностью совмещаются при параллельном переносе.

Факторы, влияющие на время движения тела

по наклонной плоскости

с переходом на горизонтальную

Зависимость времени от монет разного достоинства (т. е. имеющих разный d (диаметр)).

	Достоинство монеты	d монеты, см		tср, с

Таблица 2

Чем больше диаметр монеты, тем больше время её движения.

Зависимость времени от угла наклона

	Угол наклона		tср, с

На поверхности Земли сила тяжести (гравитация ) постоянна и равна произведению массы падающего тела на ускорение свободного падения: F g = mg

Следует заметить, что ускорение свободного падения величина постоянная: g=9,8 м/с 2 , и направлена к центру Земли. Исходя из этого можно сказать, что тела с разной массой будут падать на Землю одинаково быстро. Как же так? Если бросить с одинаковой высоты кусочек ваты и кирпич, то последний проделает свой путь до земли быстрее. Не забывайте о сопротивлении воздуха! Для ваты оно будет существенным, поскольку ее плотность очень мала. В безвоздушном пространстве кирпич и вата упадут одновременно.

Шар движется по наклонной плоскости длиной 10 метров, угол наклона плоскости 30°. Какова будет скорость шара в конце плоскости?

На шар действует только сила тяжести F g , направленная вниз перпендикулярно к основанию плоскости. Под действием этой силы (составляющей, направленной вдоль поверхности плоскости) шар будет двигаться. Чему будет равна составляющая силы тяжести, действующей вдоль наклонной плоскости?

Для определения составляющей необходимо знать угол между вектором силы F g и наклонной плоскостью.

Определить угол довольно просто:

• сумма углов любого треугольника равна 180°;
• угол между вектором силы F g и основанием наклонной плоскости равен 90°;
• угол между наклонной плоскостью и ее основанием равен α

Исходя из вышесказанного, искомый угол будет равен: 180° - 90° - α = 90° - α

Из тригонометрии:

F g накл = F g ·cos(90°-α)

Sinα = cos(90°-α)

F g накл = F g ·sinα

Это действительно так:

• при α=90° (вертикальная плоскость) F g накл = F g
• при α=0° (горизонтальная плоскость) F g накл = 0

Определим ускорение шара из известной формулы:

F g ·sinα = m·a

A = F g ·sinα/m

A = m·g·sinα/m = g·sinα

Ускорение шара вдоль наклонной плоскости не зависит от массы шара, а только от угла наклона плоскости.

Определяем скорость шара в конце плоскости:

V 1 2 - V 0 2 = 2·a·s

(V 0 =0) - шар начинает движение с места

V 1 2 = √2·a·s

V = 2·g·sinα·S = √2·9,8·0,5·10 = √98 = 10 м/с

Обратите внимание на формулу! Скорость тела в конце наклонной плоскости будет зависеть только от угла наклона плоскости и ее длины.

В нашем случае скорость 10 м/с в конце плоскости будет иметь и бильярдный шар, и легковой автомобиль, и самосвал, и школьник на санках. Конечно же, трение мы не учитываем.

Пусть тело, способное вращаться (например, цилиндр), катится по наклонной плоскости. Будем предполагать, что при движении не возникает скольжения. Это означает, что скорость тела в точке касания А равна нулю. Отсутствие скольжения обеспечивается действием сил со стороны наклонной плоскости. На вращающееся тело действуют: сила тяжести , сила нормальной реакции опорыи сила трения
(рис. 1.5). Векторы этих сил на рисунке показаны исходящими из их точек приложения. При отсутствии скольжения сила трения
есть сила трения покоя или сила трения сцепления.

У равнение движения центра масс тела согласно второму закону Ньютона имеет вид:

.

В скалярной форме относительно оси х , направленной вдоль плоскости вниз, это уравнение имеет вид:

Вращение тела вокруг оси, проходящей через центр масс С, обусловлено только силой трения, так как моменты сил нормальной реакции опоры и тяжести равны нулю, поскольку линии действия этих сил проходят через ось вращения. Поэтому уравнение динамики вращательного движения имеет вид:

,

где I – момент инерции тела,
– угловое ускорение,r – радиус тела,
– момент силы трения. Следовательно:

(1.11)

Из выражений (1.10) и (1.11) имеем:

(1.12)

Применим закон сохранения энергии к движению цилиндра по наклонной плоскости. Кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения центра масс этого тела и вращательного движения точек тела относительно оси, проходящей через центр масс:

, (1.13)

где ω – угловая скорость, которая связана со скоростью центра масс соотношением:

. (1.14)

При отсутствии скольжения сила трения приложена к тем точкам тела, которые лежат на мгновенной оси вращения А . Мгновенная скорость таких точек равна нулю, а потому приложенная к ним сила трения сцепления работы не производит и не влияет на величину полной кинетической энергии скатывающегося тела. Роль силы трения сцепления сводится к тому, чтобы привести тело во вращение и обеспечить чистое качение. При наличии силы трения сцепления работа силы тяжести идет на увеличение кинетической энергии не только поступательного, но и вращательного движения тела. Следовательно, закон сохранения энергии тела, катящегося по наклонной плоскости, запишется в виде:

, (1.15)

где кинетическая энергия Е к определяется по формуле (1.13), а потенциальная энергия Е п = mgh .

2. Описание лабораторной установки

Лабораторная установка (рис. 2.1.) представляет собой наклонную плоскость 1, высотой h и длиной l . В верхней точке плоскости установлен фиксирующий механизм 2; в нижней – контрольный датчик 3, соединенный с секундомером 4.

3. Порядок выполнения работы

1. Эксперимент с поступательно движущимся телом

Включить в сеть электронный блок посредством сетевого шнура.

Поместить тело (брусок) в фиксирующий механизм 2, при этом показания секундомера должны быть на нуле.

Отпустить тело, при этом оно будет скользить вниз вдоль наклонной плоскости. После того как тело коснется контрольного датчика 3, снять показания с секундомера. Опыт провести не менее пяти раз.

Измерить массу бруска m .

Измерить длину l и высоту h наклонной плоскости.

Данные занести в таблицу 1.

Таблица 1

	l ,	h ,		m ,	t ,				,	,	,

11. Записать закон сохранения энергии для движущегося тела (1.9), проверить его выполнение с учетом силы трения для средних значений ,,
. Указать точность выполнения этого закона в процентном соотношении.

В. М. Зражевский

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №

СКАТЫВАНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ

Цель работы: Проверка закона сохранения механической энергии при скатывании твердого тела с наклонной плоскости.

Оборудование: наклонная плоскость, электронный секундомер, цилиндры разной массы.

Теоретические сведения

Пусть цилиндр радиуса R и массой m скатывается с наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом (рис. 1). На цилиндр действуют три силы: сила тяжести P = mg , сила нормального давления плоскости на цилиндр N и сила трения цилиндра о плоскость F тр. , лежащая в этой плоскости.

Цилиндр участвует одновременно в двух видах движения: поступательном движении центра масс O и вращательном движении относительно оси, проходящей через центр масс.

Так как цилиндр во время движения остается на плоскости, то ускорение центра масс в направлении нормали к наклонной плоскости равно нулю, следовательно

P ∙cosα − N = 0. (1)

Уравнение динамики поступательного движения вдоль наклонной плоскости определяется силой трения F тр. и составляющей силы тяжести вдоль наклонной плоскости mg ∙sinα:

ma = mg ∙sinα − F тр. , (2)

где a – ускорение центра тяжести цилиндра вдоль наклонной плоскости.

Уравнение динамики вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс имеет вид

I ε = F тр. R , (3)

где I – момент инерции, ε – угловое ускорение. Момент силы тяжести и относительно этой оси равен нулю.

Уравнения (2) и (3) справедливы всегда, вне зависимости от того, движется цилиндр по плоскости со скольжением или без скольжения. Но из этих уравнений нельзя определить три неизвестные величины: F тр. , a и ε, необходимо еще одно дополнительное условие.

Если сила трения имеет достаточную величину, то качение цилиндра по наклонной происходит без скольжения. Тогда точки на окружности цилиндра должны проходить ту же длину пути, что и центр масс цилиндра. В этом случае линейное ускорение a и угловое ускорение ε связаны соотношением

a = R ε. (4)

Из уравнения (4) ε = a /R . После подстановки в (3) получаем

. (5)

Заменив в (2) F тр. на (5), получаем

. (6)

Из последнего соотношения определяем линейное ускорение

. (7)

Из уравнений (5) и (7) можно вычислить силу трения:

. (8)

Сила трения зависит от угла наклона α, силы тяжести P = mg и от отношения I /mR 2 . Без силы трения качения не будет.

При качении без скольжения играет роль сила трения покоя. Сила трения при качении, как и сила трения покоя, имеет максимальное значение, равное μN . Тогда условия для качения без скольжения будут выполняться в том случае, если

F тр. ≤ μN . (9)

Учитывая (1) и (8), получим

, (10)

или, окончательно

. (11)

В общем случае момент инерции однородных симметричных тел вращения относительно оси, проходящей через центр масс, можно записать как

I = kmR 2 , (12)

где k = 0,5 для сплошного цилиндра (диска); k = 1 для полого тонкостенного цилиндра (обруча); k = 0,4 для сплошного шара.

После подстановки (12) в (11) получаем окончательный критерий скатывания твердого тела с наклонной плоскости без проскальзывания:

. (13)

Поскольку при качении твердого тела по твердой поверхности сила трения качения мала, то полная механическая энергия скатывающегося тела постоянна. В начальный момент времени, когда тело находится в верхней точке наклонной плоскости на высоте h , его полная механическая энергия равна потенциальной:

W п = mgh = mgs ∙sinα, (14)

где s – путь, пройденный центром масс.

Кинетическая энергия катящегося тела складывается из кинетической энергии поступательного движения центра масс со скоростью υ и вращательного движения со скоростью ω относительно оси, проходящей через центр масс:

. (15)

При качении без скольжения линейная и угловая скорости связаны соотношением

υ = R ω. (16)

Преобразуем выражение для кинетической энергии (15), подставив в него (16) и (12):

Движение по наклонной плоскости является равноускоренным:

. (18)

Преобразуем (18) с учетом (4):

. (19)

Решая совместно (17) и (19), получим окончательное выражение для кинетической энергии тела, катящегося по наклонной плоскости:

. (20)

Описание установки и метода измерений

Исследовать качение тела по наклонной плоскости можно с помощью узла «плоскость» и электронного секундомера СЭ1, входящих в состав модульного учебного комплекса МУК-М2.

У
становка представляет собой наклонную плоскость 1, которую с помощью винта 2 можно устанавливать под разными углами α к горизонту (рис. 2). Угол α измеряется с помощью шкалы 3. На плоскость может быть помещен цилиндр 4 массой m . Предусмотрено использование двух роликов разной массы. Ролики закрепляются в верхней точке наклонной плоскости с помощью электромагнита 5, управление которым осуществляется с помощью

электронного секундомера СЭ1. Пройденное цилиндром расстояние измеряется линейкой 6, закрепленной вдоль плоскости. Время скатывания цилиндра измеряется автоматически с помощью датчика 7, выключающего секундомер в момент касания роликом финишной точки.

Порядок выполнения работы

1. Ослабив винт 2 (рис. 2), установите плоскость под некоторым углом α к горизонту. Поместите ролик 4 на наклонную плоскость.

2. Переключите тумблер управления электромагнитами механического блока в положение «плоскость».

3. Переведите секундомер СЭ1 в положение режим 1.

4. Нажмите кнопку «Пуск» секундомера. Измерьте время скатывания.

5. Повторите опыт пять раз. Результаты измерений запишите в табл. 1.

6. Вычислите значение механической энергии до, и после скатывания. Сделайте вывод.

7. Повторите п. 1-6 для других углов наклона плоскости.

Таблица 1

	t i , c	(t i − <t >) 2	пути s , м	Угол наклона	ролика, кг	W п, Дж	W к, Дж
t (a,n )	<t >	å(t i – <t >) 2	Δs , м		Δm , кг

8. Повторите опыт п. 1-7 для второго ролика. Результаты запишите в табл. 2, аналогичную табл. 1.

9. Сделайте выводы по всем результатам работы.

Контрольные вопросы

1. Назовите виды сил в механике.

2. Объяснить физическую природу сил трения.

3. Что называется коэффициентом трения? Его размерность?

4. Какие факторы влияют на величину коэффициента трения покоя, скольжения, качения?

5. Описать общий характер движения твердого тела при качении.

6. Как направлен момент силы трения при качении по наклонной плоскости?

7. Записать систему уравнений динамики при качении цилиндра (шара) по наклонной плоскости.

8. Вывести формулу (13).

9. Вывести формулу (20).

10. Шар и цилиндр с одинаковыми массами m и равными радиусами R одновременно начинают скатываться по наклонной плоскости с высоты h . Одновременно ли они достигнут нижней точки (h = 0)?

11. Объяснить причину торможения катящегося тела.

Библиографический список

1. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3­х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.: Наука, 1989. – § 41–43.

2. Хайкин, С. Э. Физические основы механики / С. Э. Хайкин. – М: Наука, 1971. – § 97.

3. Трофимова Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М: Высш. шк., 1990. – § 16–19.